البنيات المبدئية والجوهريّة في الرياضيات

 البنيات الجبرية: الزمرة؛ الجسم؛ الحلقة؛ الفضاء المتجهي؛ الفضاء الحلقي؛ الجبر

 Algèbre tensorielle, extérieure et symétrique جبر المُوتِّرات ، الجبر الخارجي و الجبر المتماثل

 Module libre فضاء حلقي حر

 Module de type fini فضاء حلقي نمطه منتهي

 Module de présentation finie فضاء حلقي مظهره منتهي

 Module plat; Module projectif فضاء حلقي مسطح  ، فضاء حلقي إسقاطي

 Graduations, filtrations فضاء حلقي متدرج 

 Homologie de Koszul; Le Théorème des Syzygies ثماثلية كوسيل؛ مُبرهنة السيزيجي

 Localisation حلقة محلية لحلقةٍ ما

 Nullstellensatz  المُبرهنة الكبرى لإلبرت

   Ensembles algébriques affines مجموعة جبرية

 Variétés algébriques متدد شعب جبري

 Schémas مخطط

Variétés topologiques متعدد شعب طوبولوجي
Variétés lisses, Faisceau structurel متعدد شعب أملس، حزمة بنيوية

 Espaces fibrés, Fibrés vectoriels فضاء ليفي، فضاء ليفي متجهي

 Fibré tangent, Connexion affine فضاء ليفي مماسي، إرتباط تآلفي

 Fibré cotangent, La cohomologie de de Rham فضاء ليفي مماسي مرافق، تماثلية دورام

 Homologie singulière, groupe fondamental (homotopie) الثماثلية المفردة، الزمرة الأساسية، مثلية التوضع

 Nombres de Betti et caractéristique d'Euler أرقام بيتي و مميزة أويل

  Variétés riemanniennes متعدد شعب ريماني

الترميز
   للترمير نستعمل الحرف العربي، العبري، الاردو ... التي يتماشي مع الكتابة من اليمين إلى اليسار٠
حا: مجموعة الأعداد الحقيقية٠
للترمير للمجموعات نستعمل الحرف الاردو ے ( يُقرأ أُه) و ے' ( يُقرأ أُه الأولي) و ے'' ( يُقرأ أُه المزدوج) ...٠

متعدد شعب طوبولوجي ، متعدد شعب أملس ، حزمة بنيوية

 فضاء طوبولوجي، تشاكل طبولوجي

 فضاء طوبولوجي
فضاء طوبولوجي هو مجموعة و ببنية عليه تعرفنا بفئاتها المفتوحة و جوارات نقطها و فئاتها المقفولة، ...٠
تمكننا الطوبولوجيا بدراسة النهايات و الإستمرار و بدراسة الخصائص المنحفظة وفق التشوهات المتتطابقة ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)٠ يسمى التشويه المتتطابق ثنائي الاستمرار بين فضائين طبولوجيين بالتشاكل الطبولوجي لمحافظته على الخصائص الطبولوجية٠
فضائين متطابقين طوبولوجيا فضائين متساويين٠

فضاء طوبولوجي منفصل

 نقول أن فضاء طوبولوجي  فضاء طوبولوجي منفصل إذا تحققت الشرط التالي:  كل نقطتين متغايرتين منه لهن جوارين منفصلين٠

متشعب طوبولوجي: متعدد شعب طوبولوجي نوني الأبعاد هو فضاء طوبولوجيا منفصلا متساوي محليا مع الفضاء المتجهي الطوبولوجي حا^ن . 

أي  فضاء طوبولوجيا منفصلا و لكل نقطة منه جوار متطابق طوبولوجيا بمجموعة مفتوحة جزئية من الفضاء المتجهي 

الطوبولوجي حا^ن. 

الزوج جوار النقطة و التشاكل الطوبولوجي المحلي (ج٬ ت) يسمى خارطة محلية٠
 نقول ان مجموعة من الخرائط التي تغطي الفضاء كله م-ملساء وتقرأ ميم ملساء إذا كان تطبيق الإنتقال من خريطة لأخرى تشاكل
م تفاضلي٠

مجموعة من الخرائط التي تغطي الفضاء كله تسمى أطلس٠
نقول ان أطلسين منفصلان م أملس متوافقتان إذا كان إتحادهما م أملس أيظا٠

متعدد شعب م-أملس : متدد شعب م أملس هو كل متعدد شعب طوبولوجي مزود بصنف (تكافئ) أطلاس م ملساء متوافقة٠

تسمى الخرائط المحلة نظام إحداثيات٠

مثال
الدائرة

أي نقطة في القوس الأصفر (س، ص) يمكن التعبير عنها بإحداثيتها س٠ و هكذا...٠

فضاء ليفي، فضاء ليفي متجهي

فضاء ليفي مماسي، إرتباط تآلفي

فضاء ليفي مماسي مرافق، تماثلية دورام

الثماثلية المفردة، الزمرة الأساسية، مثلية التوضع

أرقام بيتي و مميزة أويل

متعدد شعب ريماني

البنيات الجبرية

ترميز
صا: مجموعة الأعداد الصحيحة٠

1
 الزمر

الزمرة هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بقانون تركيب داخلي (عملية ثنائية مُنغلقة في المجموعة) تجميعية و لها عنصر محايد (وحيد) و لكل عنصر من المجموعة عنصر معاكس (وحيد)٠

نقول أن الزمرة تبادلية إذا كانت العملية الثنائية تبادلية٠ 

الزمر الجزئية من الزمرة ر: الزمر (بالعملية المُحدثة من العملية الثنائية في الزمرة ر) ضمن المجموعة ر٠ 

خاصية
الزمر الجزئية من الزمرة ر: المجموعات الغير فارغة ضمن ر (أو تحتوي العنصر المحايد) المغلقة بالعملية الثنائية و الإنعكاس٠

تشاكل الزمر
لتكن كل من (ر، ☆) و (ز، ✦) زمرة و تا تطبيق من ر إلى ز٠ 
يكون التطبيق تشاكلا إذا حقق: تا(س ☆ ص) = تا(س) ✦ تا(ص) لجميع س، ص من  الزمرة ر٠

2

 الحقول، الأجسام

الحقل مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها مع بعضها البعض (نتكلم على الضرب لكن ليس بالضرورة الضرب المألوف)٠
العمليتان تحققان خاصيات مُعينة٠

ليكن ك مجموعة غير فارغة٠ تكون (ك، +، ×) حقلا إذا تحققت الخاصيات التالية
 ك، +) زمرة تبادلية)
عملية الضرب قانون تركيب داخلي تجميعية و لها عنصر محايد٠
عملية الضرب توزيعية على عملية الجمع٠

الحقل الجزئي من الحقل ك: الحقول (بالعمليتين المُحدثين من العمليتين الثنائيتين في الجسم ك) ضمن المجموعة ك٠

الجسم مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها مع بعضها البعض (نتكلم على الضرب لكن ليس بالضرورة الضرب المألوف)٠
العمليتان تحققان خاصيات مُعينة٠

ليكن ك مجموعة غير فارغة٠ تكون (ك، +، ×) جسما إذا تحققت الخاصيات التالية
ك، +) زمرة تبادلية)
ك، ×) زمرة تبادلية)
عملية الضرب توزيعية على عملية الجمع٠

الجسم الجزئي من الجسم ك: الأجسام (بالعمليتين المُحدثين من العمليتين الثنائيتين في الجسم ك) ضمن المجموعة ك٠

3
الفضاأت الحلقية، الفضاأت المتجهية

فضاء متجهي: مجموعة من العناصر (تسمى متجهات) يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى جسم ما٠
الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ف: الفضاأت المتجهية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ف) ضمن الفضاء ف٠

فضاء حلقي: مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى حلقة ما٠
الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

الفضاأت الحلقية الجزئية من الفضاء  الحلقي ف: الفضاأت  الحلقية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ف) ضمن الفضاء ف٠

جبر المُوتِّرات ، الجبر الخارجي و الجبر المتماثل
فضاء حلقي حر ، فضاء حلقي نمطه منتهي ، فضاء حلقي مظهره منتهي
فضاء حلقي مسطح  ، فضاء حلقي إسقاطي
فضاء حلقي متدرج
ثماثلية كوسيل
مُبرهنة السيزيجي
حلقة محلية لحلقةٍ ما
المُبرهنة الكبرى لإلبرت
مجموعة جبرية
متدد شعب جبري
مخطط

alfarjimohammed@gmail.com                                                           

مُلحق: فضاء متري، فضاء معياري.

الترميز
   للترمير نستعمل الحرف العربي، العبري، الاردو ... التي يتماشي مع الكتابة من اليمين إلى اليسار٠
حا: مجموعة الأعداد الحقيقية٠
للترمير للمجموعات نستعمل الحرف الاردو ے ( يُقرأ أُه) و ے' ( يُقرأ أُه الأولي) و ے'' ( يُقرأ أُه المزدوج) ...٠

1

 فضاء طوبولوجي
فضاء طوبولوجي هو مجموعة غير خالية و ببنية عليها، تعرفنا بفئاتها المفتوحة و جوارات نقطها و فئاتها المقفولة، ...٠
تمكننا الطوبولوجيا بدراسة النهايات و الإستمرار و دراسة الخصائص المنحفظة وفق التشوهات المتتطابقة ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)٠ يسمى التشويه المتتطابق ثنائي الاستمرار بين فضائين طبولوجيين بالتشاكل الطبولوجي لمحافظته على الخصائص الطبولوجية٠
فضائين متطابقين طوبولوجيا فضائين متساويين٠

تعريف
ليكن ے مجموعة غير خالية و طوبو عائلة من المجموعات الجزئية من ے تُدعى مجموعات مفتوحة ٠
نقول بأن (ے،  طوبو) فضاء طوبولوجي إذا تحققت الشروط التالية
كل من المجموعة الفارغة و ے مجموعة مفتوحة  أي  تنتمي لِـ طوبو٠
اتحاد أي عدد من المجموعات المفتوحة مجموعة مفتوحة  أي ينتمي  لِـ   طوبو٠
تقاطع مجموعتان مفتوحتان مجموعة مفتوحة  أي ينتمي  لِـ   طوبو٠

فضاء طوبولوجي منفصل: نقول أن (ے،  طوبو) فضاء طوبولوجي منفصل إذا تحققت الشرط التالي:  كل نقطتين متغايرتين منه لهن جوارين منفصلين٠

مجموعة مفتوحة: عناصر  طوبو تسمى المجموعات المفتوحة٠
مجموعة مغلقة: مُكملة كل مجموعة مفتوحة  تسمى مجموعة مغلقة
جوار نقطة:  لتكن ب نقطة من ے و ي مجموعة جزئية من ے ٠ نقول بأن المجموعة ي جوار للنقطة ب إذا كانت المجموعة ي تحتوي مجموعة مفتوحة تحتوي النقطة ب٠


ملاحظة
اتحاد أي عدد من المجموعات المفتوحة هو مجموعة مفتوحة٠
تقاطع عدد محدود من المجموعات المفتوحة هو مجموعة مفتوحة٠
تقاطع أي عدد من المجموعات المغلقة هو مجموعة مغلقة٠
اتحاد عدد محدود من المجموعات المغلقة هو مجموعة مغلقة٠

مجموعة مضغوطة: لتكن ي مجموعة جزئية من الفضاء الطوبولوجي ے٠  ي مجموعة مضغوطة إذا كان كل من أغطيتها المفتوحة لها غطاء جزئي منتهي٠ هناك تعريف آخر يشترط أن يكون ے فضاء طوبولوجيا منفصلا٠

داخل مجموعة  أو فتح مجموعة: لتكن ي مجموعة جزئية من الفضاء الطوبولوجي ے ٠ داخل ي هو أكبر مجموعة مفتوحة و جزئية منها٠ ونرمز لداخل المجموعة ي بِـ ي° ٠
داخل  المجموعة ي هو اتحاد كل المجموعات المفتوحة و الجزئية منها٠
داخل المجموعة ي هو مجموعة النقط ب بحيث المجموعة ي جوار للنقطة ب٠

غالق مجموعة:  لتكن ي مجموعة جزئية من الفضاء الطوبولوجي ے ٠ غالق المجموعة ي هو أصغر مجموعة مغلقة تحتوي ي٠ ونرمز لإنغلاق المجموعة ي  بِـ  ي¯٠
غالق المجموعة ي هو تقاطع كل المجموعات المغلقة التي تحتويها٠
غالق المجموعة ي هو مجموعة النقط ب بحيث كل جوار للنقطة ب يتقاطع مع ي، أي كل مجموعة مفتوحة تحتوى النقطة ب تتقاطع مع ي٠

نقطة ملاصقة أو نقطة من الغالق:  نقول أن النقطة ب (ليست بالضرورة من المجموعة ي) نقطة ملاصقة للمجموعة ي إذا كان  كل جوار للنقطة ب يتقاطع مع ي، أي كل مجموعة مفتوحة تحتوى النقطة ب تتقاطع مع ي٠

نقطة تراكم: نقول أن النقطة ب نقطة تراكم للمجموعة الجزئية ي إذا كانت كل مجموعة مفتوحة تحتوى النقطة ب تتقاطع مع
ي - {ب}٠

نقطة معزولة: نقول أن النقطة ب من المجموعة ي نقطة معزولة إذا كان لها جوار لا يحتوي أي نقطة أخرى من المجموعة ي٠

2
فضاء متري

ليكن ے  مجموعة غير خالية٠
ليكن م تطبيق من ے ² إلى حا ⁺ ، بحيث تتحقق الخصائص التالية
لجميع س، ص، ش من ك
م(س ، ص) = م(ص ، س)٠
م(س ، س) = 0  تكافئ س = س٠
م(س، ص) ≤ م(س ، ش) + م(ش ، ص)٠

التطبيق م يسمى مسافة على الفضاء ے و الزوج (ے، م) فضاء متريا٠
تسمى الكرة المفتوحة (أو الكرة المغلقة) ذات المركز النقطة ا من المجموعة ے  و الشعاع ع (عنصر من حا ⁺) مجموعة النقاط س من المجموعة ك بحيث م(س ، ا) < ع  (أو  م(س ، ا)  ≤ ع)٠

خاصية: الفضاء المتري (ے، م) فضاء طوبولوجي٠  مجموعاته المفتوحة هي اتحاد (محدود أو غير محدود) لعدد من كراته المفتوحة ٠ (نقول أن الكرات المفتوحة أساس لطوبولوجته)٠

خاصية: لتكن ي مجموعة جزئية من الفضاء ے٠ تكون ي مجموعة مفتوحة إذا كان أي عنصرها مركزا لكرة مفتوحة، بحيث الكرة المفتوحة ضمن المجموعة ي٠

كل فضاء متري هو فضاء طوبولوجي ولكن العكس قد لا يتحقق٠

نقول أن الفضاة الطوبولوجي قابل للقياس إذا كانت هناك مسافة تُحدِث طوبولوجيته٠

مفاهيم مترية
الإتصال المنتظم، متتالية كوشي ...٠

3
فضاء متجهي معياري

ليكن ل حقل و ے فضاء متجهي على ل٠
ليكن || ||  تطبيق من ے إلى حا ⁺ ، بحيث تتحقق الخصائص التالية
لجميع س، ص من الفضاء ے  و  ح من الحقل ل

 س|| = 0 تكافئ س = 0||

||ح.س|| = |ح|.||س||

||س+ ص||  ≤ ||س|| + ||ص||

التطبيق || || يسمى معيار على الفضاء ے  و الزوج (ے، || ||) فضاء متجهي معياري٠

تسمى الكرة المفتوحة (أو الكرة المغلقة) ذات المركز النقطة ا من الفضاء ے  و الشعاع ع (عنصر من حا ⁺) مجموعة النقاط س من الفضاء ے بحيث ||س - ا|| < ع (أو  ||س - ا||  ≤ ع)٠

خاصية: (ے، || ||) فضاء طوبولوجي، قاعدته المفتوحة مجموعة من الكرات المفتوحة٠

ملاحظة: المعيار || || يُحدِث بصفة طبيعية مسافة م على الفضاء ے، م(س ، ص) = ||س - ص||، لجميع س، ص من ے٠

 خاصية: (ے، || ||) فضاء متري٠

ملاحظة
كل فضاء معياري هو فضاء متري، و كل فضاء متري هو فضاء طوبولوجي ولكن العكس قد لا يتحقق٠

alfarjimohammed@gmail.com

البنيات الجبرية.

البنيات الجبرية

ترميز
صا: مجموعة الأعداد الصحيحة٠

1
 الزمر

الزمرة هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بقانون تركيب داخلي (عملية ثنائية مُنغلقة في المجموعة) تجميعية و لها عنصر محايد (وحيد) و لكل عنصر من المجموعة عنصر معاكس (وحيد)٠

نقول أن الزمرة تبادلية إذا كانت العملية الثنائية تبادلية٠ 

الزمر الجزئية من الزمرة ے: الزمر (بالعملية المُحدثة من العملية الثنائية في الزمرة ے) ضمن المجموعة ے ٠

خاصية
الزمر الجزئية من الزمرة ے: المجموعات الغير فارغة ضمن ے (أو تحتوي العنصر المحايد) المغلقة بالعملية الثنائية و الإنعكاس٠

تشاكل الزمر
لتكن كل من (ے، ☆) و (ے'، ✦) زمرة و تا تطبيق من ے إلى ے' ٠
يكون التطبيق تشاكلا إذا حقق: تا(س ☆ ص) = تا(س) ✦ تا(ص) لجميع س، ص من  الزمرة ے ٠

الزمر الجزئية اللا متغيرة

خاصية
نواة تشاكل بين زمرة ے  و زمرة ے' زمرة جزئية لا متغيرة من الزمرة ے٠
صورة تشاكل بين زمرة ے و  زمرة ے' زمرة جزئية لا متغيرة من الزمرة  ے' ٠

الزمر المنتهية

يُقال عن زمرة أنها منتهية إذا كان عدد عناصرها منته٠

لتكن ے زمرة منتهية، ندعو رتبة الزمرة ے عدد عناصرها، ونرمز لها |ے|٠

خاصية

رتبة كل زمرة جزئية من زمرة منتهية تقسم رتبة الزمرة٠

زمر أحادية المنشأ، زمر دائرية

زمرة أحادية المنشأ
يُقال عن زمرة ماے أنها أحادية المنشأ إذا كان من الممكن توليدها عن طريق عنصر وحيد س، ونكتب ے = <س>٠

 مثال

 صا، +) = <1> ٠)

  

لتكن س عنصر من زمرة منتهية ے٠  ندعو رتبة س رتبة الزمرة الجزئية <س> المولدة من العنصر س٠

خاصية

رتبة كل عنصر من زمرة منتهية تقسم رتبة الزمرة٠

خواص

لتكن ے زمرة منتهية رُتبتها ن و س عنصر من ے رُتبته م ٠ 

فإن م تقسم ن و إن م أصغر عدد بحيث س مركبة م مرة (بقانون الزمرة) تساوي العنصر المحايد٠

زمرة دائرية

يُقال عن زمرة ما ے أنها دائرية إذا كانت منتهية و أحادية المنشأ٠

أمثلة

 صا\ن.صا  ، +) ٠)

 صا\ن.صا)*، ×)، ن عدد أولي٠))

خاصية
لتكن ے زمرة دائرية

....

2 الحقول، الأجسام

الحقل مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها مع بعضها البعض (نتكلم على الضرب لكن ليس بالضرورة الضرب المألوف)٠

العمليتان تحققان خاصيات مُعينة٠

ليكن ك مجموعة غير فارغة٠ تكون (ے، +، ×) حقلا إذا تحققت الخاصيات التالية

 ے، +) زمرة تبادلية)

عملية الضرب قانون تركيب داخلي تجميعية و لها عنصر محايد٠

عملية الضرب توزيعية على عملية الجمع٠

الحقل الجزئي من الحقل ے: الحقول (بالعمليتين المُحدثين من العمليتين الثنائيتين في الجسم ے) ضمن المجموعة ے٠

الجسم مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها مع بعضها البعض (نتكلم على الضرب لكن ليس بالضرورة الضرب المألوف)٠

العمليتان تحققان خاصيات مُعينة٠

ليكن ك مجموعة غير فارغة٠ تكون (ے، +، ×) جسما إذا تحققت الخاصيات التالية

ے، +) زمرة تبادلية)

ے، ×) زمرة تبادلية)

عملية الضرب توزيعية على عملية الجمع٠

الجسم الجزئي من الجسم ے: الأجسام (بالعمليتين المُحدثين من العمليتين الثنائيتين في الجسم ے) ضمن المجموعة ے٠

3

الفضاأت الحلقية، الفضاأت المتجهية

فضاء متجهي: مجموعة من العناصر (تسمى متجهات) يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى جسم ما٠

الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ے: الفضاأت المتجهية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ے) ضمن الفضاء ے٠

فضاء حلقي: مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى حلقة ما٠

الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

الفضاأت الحلقية الجزئية من الفضاء  الحلقي ے: الفضاأت  الحلقية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ے) ضمن الفضاء ے٠

الفضاأت المتجهية٠

ليكن ف فضاء متجهي على حقل (تبادلي): مجموعة من العناصر (تسمى متجهات) يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى حقل ما، غالبا تكون أعدادا حقيقية، أعداد مركبة أو أعداد كسرية ...٠

الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

يتميز كل فضاء متجهي ببُعده (منتهي أو غير منتهي) . يحدد هذا البُعد عدد عناصر أساسه (مجموعة من العناصر مولدة و حرة)٠

أمثلة

مجموعة الأزواج من الأعداد الحقيقية (ص، س) فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية، ثنائي الأبعاد٠

مجموعة الأعداد المركبة فضاء متجهي على حقل الأعداد المركبة، أحادي الأبعاد٠

مجموعة الأعداد المركبة فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية، ثنائي الأبعاد٠

الحقول فضاأت متجهية على نفسها أحادية الأبعاد٠

مجموعة الحدوديات ذات متغير واحد  فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية٠

تقاطع فضاأن متجهان فضاء متجهي٠
جمع فضاأن متجهان فضاء متجهي٠
جمع فضاأن متجهان لا تقاطع بينهما سوى المتجة صفر فضاء متجهي٠ الفضاء الناتج عن هذا الجمع يسمى الجمع المباشر٠

ملاحظة

فضاأن متجهان لهما نفس البعد أحدهما ضمن الٱخر متساويان٠ 

الفضاأت المتجهية الجزئية٠

الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ف: الفضاأت المتجهية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ف) ضمن الفضاء ف٠

خاصية
الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ف: المجموعات الغير فارغة ضمن الفضاء ف والمغلة بالعملية الداخلية و العملية الخارجية٠

ليكن ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف٠ ف\ل فضاء متجهي

تشاكلات الفضاأت المتجهية او التطبيقات الخطية

التعريفات التالية تستلزم أن تكون الفضاأت المتجهية التالية على نفس الحقل (تبادلي)٠

تشاكلات الفضاأت المتجهية بين فضاء متجهي ف و فضاء متجهي ق هي التطبيقات الخطية بينهما٠

تشاكلات الفضاأت المتجهية هي التطبيقات التي تحافظ على البنية الحطية٠ 

التشاكل المتقابل (متباين و شمولي) يسمى تشاكل جبري٠

نرمز لفضاءين ف و ق مُتشاكلين جبريا بِـ   ف ≅ ق٠

ليكن ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف، و ك فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق٠

صورة الفضاء الجزئي ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق٠

الصورة العكسية للفضاء الجزئي ك فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف٠

ليكن تا تشاكل  بين الفضاء المتجهي ف و الفضاء المتجهي ق٠

 تا:  ف ←  ق                                                                             

صورة الفضاء ف فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق تدعى صورة التشاكل تا و نرمز لها بِـ صورة(تا)٠
يكون التشاكل شمولي تكافئ صورة التشاكل تساوي الفضاء المتجهي ق٠

بعد صورة(تا) تُدعى رتبة التشاكل تا ونرمز له بِـ رتبة(تا)٠

الصورة العكسية للفضاء الجزئي {0} من الفضاء المتجهي ق فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف تدعى نواة التشاكل تا و نرمز لها بِـ نواة(تا)٠ 
يكون التشاكل متباين تكافئ نواة التشاكل تساوي المتجة صفر٠

التشاكل تا يُحِدث تشاكلا بحيث ف\نواة(تا) متشاكل جبريا مع الفضاء المتجهي صورة(تا)٠

ف\نواة(تا)  ≅ صورة(تا)٠

بعد(صورة(تا)) + بعد(نواة(تا)) = بعد(ف)٠

بصفة عامة، ليكن ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف
بعد(ف\ل) + بعد(ل) = بعد(ف)٠

ملاحظة

ق\صورة(تا) فضاء متجهي يسمى النواة المرافق٠

ولدينا المتتالية الصحيحة:    0 ←  نواة(تا) ← ف ←  ق  ←  ق\صورة(تا) ←0

ملاحظة

في حالة تشاكل ذاتي لفضاء متجهي ف، يكوف الفضاء المتجهي ف جمع مباشر لنواة و صورة التشاكل٠

ملاحظة
في حالة تشاكل فضاأن متجهان لهما نفس الرتبة (منتهية)،  يكون التشاكل تشاكل جبري (تشاكل تقابلي) تكافئ التشاكل متباين (نواته تساوي المتجة صفر) تكافئ التشاكل شمولي (صورته تساوي فضاء الوصول)٠

إقتران التشاكلات و المصفوفات

ليكن ف فضاء متجهي بعده ن و  ق فضاء متجهي بعده م٠  (ط₁، ط₂، ... ط_ن) أساس للفضاء المتجهي ف و (ظ₁، ظ₂،... ) أساس للفضاء المتجهي ق٠

ليكن تا تشاكل  بين الفضاء المتجهي ف و الفضاء المتجهي ق٠

ندعوا مصفوفة التشاكل تا في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن) و الأساس (ظ₁، ظ₂،... ) المصفوفة التي عمودها الأول مُكون  من إحداتيات صورة ط₁ في الأساس (ظ₁، ظ₂،... )، ... و عمودها رقم ن مُكون من إحداتيات صورة ط_ن  في   (ظ₁، ظ₂،...)٠

نقول أن المصفوفة تمثل التشاكل٠

مصفوفة تغيير الأساس

ليكن ف فضاء متجهي بعده منتهي ن٠

لتكن (ط₁، ط₂، ...ط_ن) و  (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن) أساسان للفضاء المتجهي ف٠

ليكن تا تشاكل ذاتي للفضاء المتجهي ف٠ 

ندعوا مصفوفة تغيير الأساس من (ط₁، ط₂، ...ط_ن) إلى (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن) المصفوفة التي عمودها الأول مُكون من إحداتيات ظ₁ في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)، ... و عمودها رقم ن مُكون من إحداتيات ظ_ن في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)٠

خاصية

مصفوفة تغيير الأساس قابلة للإنعكاس٠

إحداتيات متجهة ما من الفضاء المتجهي في الأساس الجديد (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن): الإحداتيات الناتجة عن ضرب معكوس مصفوفة التغيير بإحداتيات المتجهة في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)٠

مصفوفة التشاكل تا في الأساس (ظ₁، ظ₂،... ): المصفوفة الحاصلة من  ضرب معكوس مصفوفة التغيير بِمصفوفة التشاكل تا في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن) بِمصفوفة التغيير٠ نقول أن المصفوفتين متشابهتان٠

مصفوفتان متشابهتان  تمثل  نفس التشاكل الخطي الذاتي٠

رتبة مصفوفة ما هي رتبة مصفوفاتها الجزئية المربعة (رتبة اعدمدة مصفوفاتها الجزئية المربعة الحرة)٠

رتبة مصفوفة ما هي رتبة التشاكل الذي تمثله٠

خاصية

التشابه علاقة تطابق في مجال المصفوفات المربعة. تتشارك المصفوفات المتشابهة بخصائص متعددة

الرتبة

المحدد

الأثر (جمع مداخل المصفوفة الواقعة فوق القطر الرئيسي)٠

و تتشارك أيضا في خصائص أخرى: متعددة الحدود الدنيا و متعددة الحدود المميزة و القيم الذاتية٠

فضاء متجهي مرافق

.4

 كثيرات الحدود والتطبيقات الخطية 

الفضاأت المتجهية

تشكل الفضاأت المتجهية البنية الجبرية الملائمة لدراسة أنظمة المعادلات الخطية٠

ليكن ف فضاء متجهي على حقل (تبادلي): مجموعة من العناصر (تسمى متجهات) يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى حقل ما، غالبا تكون أعدادا حقيقية، أعداد مركبة أو أعداد كسرية ...٠

الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

يتميز كل فضاء متجهي ببُعده (منتهي أو غير منتهي) . يحدد هذا البُعد عدد عناصر أساسه (مجموعة من العناصر مولدة و حرة)٠

أمثلة

مجموعة الأزواج من الأعداد الحقيقية (ص، س) فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية، ثنائي الأبعاد٠

مجموعة الأعداد المركبة فضاء متجهي على حقل الأعداد المركبة، أحادي الأبعاد٠

مجموعة الأعداد المركبة فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية، ثنائي الأبعاد٠

الحقول فضاأت متجهية على نفسها أحادية الأبعاد٠

مجموعة الحدوديات ذات متغير واحد  فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية٠

تقاطع فضاأن متجهان فضاء متجهي٠
جمع فضاأن متجهان فضاء متجهي٠
جمع فضاأن متجهان لا تقاطع بينهما سوى المتجة صفر فضاء متجهي٠ الفضاء الناتج عن هذا الجمع يسمى الجمع المباشر٠

ملاحظة

فضاأن متجهان لهما نفس البعد أحدهما ضمن الٱخر متساويان٠ 

الفضاأت المتجهية الجزئية٠

الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ف: الفضاأت المتجهية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ف) ضمن الفضاء ف٠

خاصية
الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ف: المجموعات الغير فارغة ضمن الفضاء ف والمغلة بالعملية الداخلية و العملية الخارجية٠

تشاكلات الفضاأت المتجهية او التطبيقات الخطية

التعريفات التالية تستلزم أن تكون الفضاأت المتجهية التالية على نفس الحقل (تبادلي)٠

تشاكلات الفضاأت المتجهية بين فضاء متجهي ف و فضاء متجهي ق هي التطبيقات الخطية بينهما٠
تشاكلات الفضاأت المتجهية هي التطبيقات التي تحافظ على البنية الحطية٠ 

التشاكل المتقابل (متباين و شمولي) يسمى تشاكل جبري٠

ليكن ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف، و ك فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق٠
صورة الفضاء الجزئي ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق٠
الصورة العكسية للفضاء الجزئي ك فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف٠
بعد صورة(تا) تُدعى رتبة التشاكل تا ونرمز له بِـ رتبة(تا)٠

نواة تشاكل بين فضاء متجهي ف و فضاء متجهي ق فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف٠

يكون التشاكل متباين تكافئ نواة التشاكل تساوي المتجة صفر٠

صورة تشاكل بين فضاء متجهي ف و فضاء متجهي ق فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق٠

يكون التشاكل شمولي تكافئ صورة التشاكل تساوي الفضاء المتجهي ق٠

ليكن تا تشاكل  بين الفضاء المتجهي ف و الفضاء المتجهي ق٠
 تا:  ف ←  ق                                                                             

نرمز لنواة التشاكل  تا بِـ نواة(تا)، و لصورة التشاكل  تا بِـ صورة(تا)٠
ق\صورة(تا) فضاء متجهي يسمى النواة المرافق٠
ف\نواة(تا) فضاء متجهي٠ التشاكل تا يُحِدث تشاكلا بحيث ف\نواة(تا) متشاكل جبريا مع الفضاء المتجهي صورة(تا)٠
بعد(صورة(تا)) + بعد(نواة(تا)) = بعد(ف)٠
بصفة عامة، ليكن ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف٠ بعد(ف\ل) + بعد(ل) = بعد(ف)٠

ملاحظة

في حالة تشاكل ذاتي لفضاء متجهي ف، يكوف الفضاء المتجهي ف جمع مباشر لنواة و صورة التشاكل٠

ملاحظة
في حالة تشاكل فضاأن متجهان لهما نفس الرتبة (منتهية)،  يكون التشاكل تشاكل جبري (تشاكل تقابلي) تكافئ التشاكل متباين (نواته تساوي المتجة صفر) تكافئ التشاكل شمولي (صورته تساوي فضاء الوصول)٠

إقتران التشاكلات و المصفوفات

ليكن ف فضاء متجهي بعده ن و  ق فضاء متجهي بعده م٠  (ط₁، ط₂، ... ط_ن) أساس للفضاء المتجهي ف و (ظ₁، ظ₂،... ) أساس للفضاء المتجهي ق٠

ليكن تا تشاكل  بين الفضاء المتجهي ف و الفضاء المتجهي ق٠

ندعوا مصفوفة التشاكل تا في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن) و الأساس (ظ₁، ظ₂،... ) المصفوفة التي عمودها الأول مُكون  من إحداتيات صورة ط₁ في الأساس (ظ₁، ظ₂،... )، ... و عمودها رقم ن مُكون من إحداتيات صورة ط_ن  في   (ظ₁، ظ₂،...)٠

نقول أن المصفوفة تمثل التشاكل٠

مصفوفة تغيير الأساس

ليكن ف فضاء متجهي بعده منتهي ن٠

لتكن (ط₁، ط₂، ...ط_ن) و  (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن) أساسان للفضاء المتجهي ف٠

ليكن تا تشاكل ذاتي للفضاء المتجهي ف٠ 

ندعوا مصفوفة تغيير الأساس من (ط₁، ط₂، ...ط_ن) إلى (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن) المصفوفة التي عمودها الأول مُكون من إحداتيات ظ₁ في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)، ... و عمودها رقم ن مُكون من إحداتيات ظ_ن في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)٠

خاصية

مصفوفة تغيير الأساس قابلة للإنعكاس٠

إحداتيات متجهة ما من الفضاء المتجهي في الأساس الجديد (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن): الإحداتيات الناتجة عن ضرب معكوس مصفوفة التغيير بإحداتيات المتجهة في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)٠

مصفوفة التشاكل تا في الأساس (ظ₁، ظ₂،... ): المصفوفة الحاصلة من  ضرب معكوس مصفوفة التغيير بِمصفوفة التشاكل تا في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن) بِمصفوفة التغيير٠ نقول أن المصفوفتين متشابهتان٠

مصفوفتان متشابهتان  تمثل  نفس التشاكل الخطي الذاتي٠

رتبة مصفوفة ما هي رتبة مصفوفاتها الجزئية المربعة (رتبة اعدمدة مصفوفاتها الجزئية المربعة الحرة)٠
رتبة مصفوفة ما هي رتبة التشاكل الذي تمثله٠

خاصية

التشابه علاقة تطابق في مجال المصفوفات المربعة. تتشارك المصفوفات المتشابهة بخصائص متعددة

الرتبة

المحدد

الأثر (جمع مداخل المصفوفة الواقعة فوق القطر الرئيسي)٠

و تتشارك أيضا في خصائص أخرى سنعرفها في ما يلي: متعددة الحدود الدنيا و متعددة الحدود المميزة و القيم الذاتية٠

التحاكي، التناظر، الإسقاط
التحاكي ذو النسبة ك للفضاء المتجهي ف ذو البعد ن تطبيق خطي مصفوفته المصفوفة القطرية ك.ي بغض النظر عن الأسس، بحيث ي مصفوفة الوحدة المكونة من ن صف و ن عمود٠

التناظر  للفضاء المتجهي ف ذو البعد ن تطبيق خطي ذاتي التقابل، أي تركيبه مرتيين يساوي التطبيق المحايد، مصفوفته ل 
تحقق ل.ل = ي، بحيث ي مصفوفة الوحدة المكونة من ن صف و ن عمود٠

الإسقاط  للفضاء المتجهي ف ذو البعد ن تطبيق خطي تركيبه مرتيين يساوي له، مصفوفته ل تحقق ل.ل = ل٠

أمثلة

ليكن الفضاء المتجهي ف جمع مباشر لفظاأين جزئيين منه ف1 و ف2، بحيث كل عنصر ص من ف يُكتب بطريقة وحيدة

ص = ص1 + ص2، بحيث ص1 ينتمي للفضاء ف1 و ص2 ينتمي للفضاء ف2

التطبيق الذي يحول العنصر ص إلى العصر ص1 إسقاطا (أي تطبيق خطي تركيبه مرتيين يساوي له)٠ يسمى الإسقاط المتوازي مع ف2 على ف1

التطبيق الذي يحول العنصر ص إلى العصر ص1 - ص2 تناظرا (أي تطبيق خطي تركيبه مرتيين يساوي التطبيق المحايد)٠ يسمى التناظر المتوازي مع ف2 على ف1

ملاحظة

كل تشاكل  تا ذاتي لفضاء متجهي ف تركيبه مرتيين يساوي التطبيق المحايد، تناظرا متوازيا مع نواة التشاكل(تا + ي) على

نواة التشاكل (تا - ي)، بحيث ي التطبيق المحايد٠

كل تشاكل  تا ذاتي لفضاء متجهي ف تركيبه مرتيين يساوي له، إسقاطا على صورته متوازيا مع نواته٠

الفضاء الجزئي المغلق بتشاكل ما

الفضاء الجزئي المغلق بتشاكل ما تا بين فضاء متجهي ف و فضاء متجهي ق: الفضاء الجزئي من الفضاء المتجهي ف بحيث صورته بالتشاكل تا ضمنه٠

ليكن تا تشاكل ذاتي لفضاء متجهي ف بعده منتهي٠

لتكن (ط1، ط2، .. ظ1، ظ2،...) أساس الفضاء المتجهي ف، بحيث الفضاء المتجهي الجزئي من الفضاء المتجهي ف المُولد

من (ط1، ط2، ..) مغلوق بالتشاكل تا  و الفضاء المتجهي الجزئي من الفضاء المتجهي ف المُولد من (ظ1، ظ2،...) مغلوق بالتشاكل تا٠ فإن بالتشاكل تا يُحِدث تشاكلا ذاتيا في الفضاء المتجهي المُولد من (ط1، ط2،...) و يُحِدث تشاكلا ذاتيا في الفضاء المتجهي  المُولد من (ظ1، ظ2،...)٠ المصفوفة المقرونه بالتشاكل تا تكون قطرية أقطارها مصفوفات التشاكلين المُحدثين٠

يمكن تعميم ماسبق إلى حالة الفضاء ف جمع مباشر لعدد من فضاأت جزئية منه مغلوقة بالتشاكل تا٠

 كثيرات الحدود والتطبيقات الخطية

متعددة الحدود الدنيا

مجموعة متعددة الحدود حا بحيث حا(تا) = 0 مثالي أساسي من حلقة متعددة الحدود ذات المعاملات أعدادا حقيقية أو أعداد مركبة أو بصفة عامة من جسم ما ... (حلقة أساسية)٠

متعددة الحدود الدنيا للتشاكل تا هي الحدودية  الوحيدة حا ذات الدرجة الأصغر و المعامل الرئسي 1 بحيث حا(تا) = 0

متعددة الحدود الدنيا للمصفوفة المربعة (ن،ن) تا هي الحدودية  الوحيدة حا ذات الدرجة الأصغر و المعامل الرئسي 1 بحيث

حا(تا) = 0

أمثلة

متعددة الحدود الدنيا للتحاكي ذو النسبة ك هي متعددة الحدود  حا(ص) = ك٠

متعددة الحدود الدنيا لتناظر ما هي متعددة الحدود حا(ص) =  ص²  - 1

متعددة الحدود الدنيا لإسقاط ما هي متعددة الحدود حا(ص) =   ص²  - ص٠

متعددة الحدود المميزة

متعددة الحدود المميزة للمصفوفة المربعة (ن،ن) تا  هي مُحدِّد المصفوفة (تا - ص.ي)، بحيث ي مصفوفة الوحدة المكونة من ن صف و ن عمود٠

جذور متعددة الحدود المميزة لمصفوفة ما هم القيم الذاتية لهذه المصفوفة٠

إذا وجد أساس للفضاء ف مُكون من المتجهات الذاتية فإن المصقوفة قابلة للتقطير٠

الفضات الجزئية الدورية

ليكن التشاكل تا من و إلى الفضاء المتجهي ف٠

ليكن ص عنصر ينتمي إلى الفضاء المتجهي ف٠

 نعرف الفضاء الجزئي الدوري للتشاكل تا المقرون بالعنصر ص بالفضاء الجزئي المُولد بالمجموعة

{ ...  ( ص ،  تا(ص)،  تا ² (ص)، تا ³ (ص}

أمثلة

الفضاء الجزئي الدوري للتحاكي ذو النسبة ك المقرون بالعنصر ص هو الفضاء الجزئي المُولد بالمجموعة

{ص}

الفضاء الجزئي الدوري لإسقاط ما المقرون بالعنصر ص هو الفضاء الجزئي المُولد بالمجموعة

{(ص ،  تا(ص}

الفضاء الجزئي الدوري لإسقاط ما المقرون بالعنصر ص هو الفضاء الجزئي المُولد بالمجموعة

{(ص ،  تا(ص}

مبرهنة كايلي هاميلتون

كل مصفوفة مربعة معرفة على حلقة تبادلية تحقق المعادلة المميزة الخاصة بها٠