البنيات المبدئية والجوهريّة في الرياضيات

 البنيات الجبرية: الزمرة؛ الجسم؛ الحلقة؛ الفضاء المتجهي؛ الفضاء الحلقي؛ الجبر

 Algèbre tensorielle, extérieure et symétrique جبر المُوتِّرات ، الجبر الخارجي و الجبر المتماثل

 Module libre فضاء حلقي حر

 Module de type fini فضاء حلقي نمطه منتهي

 Module de présentation finie فضاء حلقي مظهره منتهي

 Module plat; Module projectif فضاء حلقي مسطح  ، فضاء حلقي إسقاطي

 Graduations, filtrations فضاء حلقي متدرج 

 Homologie de Koszul; Le Théorème des Syzygies ثماثلية كوسيل؛ مُبرهنة السيزيجي

 Localisation حلقة محلية لحلقةٍ ما

 Nullstellensatz  المُبرهنة الكبرى لإلبرت

   Ensembles algébriques affines مجموعة جبرية

 Variétés algébriques متدد شعب جبري

 Schémas مخطط

Variétés topologiques متعدد شعب طوبولوجي
Variétés lisses, Faisceau structurel متعدد شعب أملس، حزمة بنيوية

 Espaces fibrés, Fibrés vectoriels فضاء ليفي، فضاء ليفي متجهي

 Fibré tangent, Connexion affine فضاء ليفي مماسي، إرتباط تآلفي

 Fibré cotangent, La cohomologie de de Rham فضاء ليفي مماسي مرافق، تماثلية دورام

 Homologie singulière, groupe fondamental (homotopie) الثماثلية المفردة، الزمرة الأساسية، مثلية التوضع

 Nombres de Betti et caractéristique d'Euler أرقام بيتي و مميزة أويل

  Variétés riemanniennes متعدد شعب ريماني

الترميز
   للترمير نستعمل الحرف العربي، العبري، الاردو ... التي يتماشي مع الكتابة من اليمين إلى اليسار٠
حا: مجموعة الأعداد الحقيقية٠
للترمير للمجموعات نستعمل الحرف الاردو ے ( يُقرأ أُه) و ے' ( يُقرأ أُه الأولي) و ے'' ( يُقرأ أُه المزدوج) ...٠

متعدد شعب طوبولوجي ، متعدد شعب أملس ، حزمة بنيوية

 فضاء طوبولوجي، تشاكل طبولوجي

 فضاء طوبولوجي
فضاء طوبولوجي هو مجموعة و ببنية عليه تعرفنا بفئاتها المفتوحة و جوارات نقطها و فئاتها المقفولة، ...٠
تمكننا الطوبولوجيا بدراسة النهايات و الإستمرار و بدراسة الخصائص المنحفظة وفق التشوهات المتتطابقة ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)٠ يسمى التشويه المتتطابق ثنائي الاستمرار بين فضائين طبولوجيين بالتشاكل الطبولوجي لمحافظته على الخصائص الطبولوجية٠
فضائين متطابقين طوبولوجيا فضائين متساويين٠

فضاء طوبولوجي منفصل

 نقول أن فضاء طوبولوجي  فضاء طوبولوجي منفصل إذا تحققت الشرط التالي:  كل نقطتين متغايرتين منه لهن جوارين منفصلين٠

متشعب طوبولوجي: متعدد شعب طوبولوجي نوني الأبعاد هو فضاء طوبولوجيا منفصلا متساوي محليا مع الفضاء المتجهي الطوبولوجي حا^ن . 

أي  فضاء طوبولوجيا منفصلا و لكل نقطة منه جوار متطابق طوبولوجيا بمجموعة مفتوحة جزئية من الفضاء المتجهي 

الطوبولوجي حا^ن. 

الزوج جوار النقطة و التشاكل الطوبولوجي المحلي (ج٬ ت) يسمى خارطة محلية٠
 نقول ان مجموعة من الخرائط التي تغطي الفضاء كله م-ملساء وتقرأ ميم ملساء إذا كان تطبيق الإنتقال من خريطة لأخرى تشاكل
م تفاضلي٠

مجموعة من الخرائط التي تغطي الفضاء كله تسمى أطلس٠
نقول ان أطلسين منفصلان م أملس متوافقتان إذا كان إتحادهما م أملس أيظا٠

متعدد شعب م-أملس : متدد شعب م أملس هو كل متعدد شعب طوبولوجي مزود بصنف (تكافئ) أطلاس م ملساء متوافقة٠

تسمى الخرائط المحلة نظام إحداثيات٠

مثال
الدائرة

أي نقطة في القوس الأصفر (س، ص) يمكن التعبير عنها بإحداثيتها س٠ و هكذا...٠

فضاء ليفي، فضاء ليفي متجهي

فضاء ليفي مماسي، إرتباط تآلفي

فضاء ليفي مماسي مرافق، تماثلية دورام

الثماثلية المفردة، الزمرة الأساسية، مثلية التوضع

أرقام بيتي و مميزة أويل

متعدد شعب ريماني

البنيات الجبرية

ترميز
صا: مجموعة الأعداد الصحيحة٠

1
 الزمر

الزمرة هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بقانون تركيب داخلي (عملية ثنائية مُنغلقة في المجموعة) تجميعية و لها عنصر محايد (وحيد) و لكل عنصر من المجموعة عنصر معاكس (وحيد)٠

نقول أن الزمرة تبادلية إذا كانت العملية الثنائية تبادلية٠ 

الزمر الجزئية من الزمرة ر: الزمر (بالعملية المُحدثة من العملية الثنائية في الزمرة ر) ضمن المجموعة ر٠ 

خاصية
الزمر الجزئية من الزمرة ر: المجموعات الغير فارغة ضمن ر (أو تحتوي العنصر المحايد) المغلقة بالعملية الثنائية و الإنعكاس٠

تشاكل الزمر
لتكن كل من (ر، ☆) و (ز، ✦) زمرة و تا تطبيق من ر إلى ز٠ 
يكون التطبيق تشاكلا إذا حقق: تا(س ☆ ص) = تا(س) ✦ تا(ص) لجميع س، ص من  الزمرة ر٠

2

 الحقول، الأجسام

الحقل مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها مع بعضها البعض (نتكلم على الضرب لكن ليس بالضرورة الضرب المألوف)٠
العمليتان تحققان خاصيات مُعينة٠

ليكن ك مجموعة غير فارغة٠ تكون (ك، +، ×) حقلا إذا تحققت الخاصيات التالية
 ك، +) زمرة تبادلية)
عملية الضرب قانون تركيب داخلي تجميعية و لها عنصر محايد٠
عملية الضرب توزيعية على عملية الجمع٠

الحقل الجزئي من الحقل ك: الحقول (بالعمليتين المُحدثين من العمليتين الثنائيتين في الجسم ك) ضمن المجموعة ك٠

الجسم مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها مع بعضها البعض (نتكلم على الضرب لكن ليس بالضرورة الضرب المألوف)٠
العمليتان تحققان خاصيات مُعينة٠

ليكن ك مجموعة غير فارغة٠ تكون (ك، +، ×) جسما إذا تحققت الخاصيات التالية
ك، +) زمرة تبادلية)
ك، ×) زمرة تبادلية)
عملية الضرب توزيعية على عملية الجمع٠

الجسم الجزئي من الجسم ك: الأجسام (بالعمليتين المُحدثين من العمليتين الثنائيتين في الجسم ك) ضمن المجموعة ك٠

3
الفضاأت الحلقية، الفضاأت المتجهية

فضاء متجهي: مجموعة من العناصر (تسمى متجهات) يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى جسم ما٠
الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ف: الفضاأت المتجهية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ف) ضمن الفضاء ف٠

فضاء حلقي: مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى حلقة ما٠
الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

الفضاأت الحلقية الجزئية من الفضاء  الحلقي ف: الفضاأت  الحلقية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ف) ضمن الفضاء ف٠

جبر المُوتِّرات ، الجبر الخارجي و الجبر المتماثل
فضاء حلقي حر ، فضاء حلقي نمطه منتهي ، فضاء حلقي مظهره منتهي
فضاء حلقي مسطح  ، فضاء حلقي إسقاطي
فضاء حلقي متدرج
ثماثلية كوسيل
مُبرهنة السيزيجي
حلقة محلية لحلقةٍ ما
المُبرهنة الكبرى لإلبرت
مجموعة جبرية
متدد شعب جبري
مخطط

alfarjimohammed@gmail.com