البنيات الجبرية.

البنيات الجبرية

ترميز
صا: مجموعة الأعداد الصحيحة٠

1
 الزمر

الزمرة هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بقانون تركيب داخلي (عملية ثنائية مُنغلقة في المجموعة) تجميعية و لها عنصر محايد (وحيد) و لكل عنصر من المجموعة عنصر معاكس (وحيد)٠

نقول أن الزمرة تبادلية إذا كانت العملية الثنائية تبادلية٠ 

الزمر الجزئية من الزمرة ے: الزمر (بالعملية المُحدثة من العملية الثنائية في الزمرة ے) ضمن المجموعة ے ٠

خاصية
الزمر الجزئية من الزمرة ے: المجموعات الغير فارغة ضمن ے (أو تحتوي العنصر المحايد) المغلقة بالعملية الثنائية و الإنعكاس٠

تشاكل الزمر
لتكن كل من (ے، ☆) و (ے'، ✦) زمرة و تا تطبيق من ے إلى ے' ٠
يكون التطبيق تشاكلا إذا حقق: تا(س ☆ ص) = تا(س) ✦ تا(ص) لجميع س، ص من  الزمرة ے ٠

الزمر الجزئية اللا متغيرة

خاصية
نواة تشاكل بين زمرة ے  و زمرة ے' زمرة جزئية لا متغيرة من الزمرة ے٠
صورة تشاكل بين زمرة ے و  زمرة ے' زمرة جزئية لا متغيرة من الزمرة  ے' ٠

الزمر المنتهية

يُقال عن زمرة أنها منتهية إذا كان عدد عناصرها منته٠

لتكن ے زمرة منتهية، ندعو رتبة الزمرة ے عدد عناصرها، ونرمز لها |ے|٠

خاصية

رتبة كل زمرة جزئية من زمرة منتهية تقسم رتبة الزمرة٠

زمر أحادية المنشأ، زمر دائرية

زمرة أحادية المنشأ
يُقال عن زمرة ماے أنها أحادية المنشأ إذا كان من الممكن توليدها عن طريق عنصر وحيد س، ونكتب ے = <س>٠

 مثال

 صا، +) = <1> ٠)

  

لتكن س عنصر من زمرة منتهية ے٠  ندعو رتبة س رتبة الزمرة الجزئية <س> المولدة من العنصر س٠

خاصية

رتبة كل عنصر من زمرة منتهية تقسم رتبة الزمرة٠

خواص

لتكن ے زمرة منتهية رُتبتها ن و س عنصر من ے رُتبته م ٠ 

فإن م تقسم ن و إن م أصغر عدد بحيث س مركبة م مرة (بقانون الزمرة) تساوي العنصر المحايد٠

زمرة دائرية

يُقال عن زمرة ما ے أنها دائرية إذا كانت منتهية و أحادية المنشأ٠

أمثلة

 صا\ن.صا  ، +) ٠)

 صا\ن.صا)*، ×)، ن عدد أولي٠))

خاصية
لتكن ے زمرة دائرية

....

2 الحقول، الأجسام

الحقل مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها مع بعضها البعض (نتكلم على الضرب لكن ليس بالضرورة الضرب المألوف)٠

العمليتان تحققان خاصيات مُعينة٠

ليكن ك مجموعة غير فارغة٠ تكون (ے، +، ×) حقلا إذا تحققت الخاصيات التالية

 ے، +) زمرة تبادلية)

عملية الضرب قانون تركيب داخلي تجميعية و لها عنصر محايد٠

عملية الضرب توزيعية على عملية الجمع٠

الحقل الجزئي من الحقل ے: الحقول (بالعمليتين المُحدثين من العمليتين الثنائيتين في الجسم ے) ضمن المجموعة ے٠

الجسم مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها مع بعضها البعض (نتكلم على الضرب لكن ليس بالضرورة الضرب المألوف)٠

العمليتان تحققان خاصيات مُعينة٠

ليكن ك مجموعة غير فارغة٠ تكون (ے، +، ×) جسما إذا تحققت الخاصيات التالية

ے، +) زمرة تبادلية)

ے، ×) زمرة تبادلية)

عملية الضرب توزيعية على عملية الجمع٠

الجسم الجزئي من الجسم ے: الأجسام (بالعمليتين المُحدثين من العمليتين الثنائيتين في الجسم ے) ضمن المجموعة ے٠

3

الفضاأت الحلقية، الفضاأت المتجهية

فضاء متجهي: مجموعة من العناصر (تسمى متجهات) يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى جسم ما٠

الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ے: الفضاأت المتجهية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ے) ضمن الفضاء ے٠

فضاء حلقي: مجموعة من العناصر يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى حلقة ما٠

الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

الفضاأت الحلقية الجزئية من الفضاء  الحلقي ے: الفضاأت  الحلقية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ے) ضمن الفضاء ے٠

الفضاأت المتجهية٠

ليكن ف فضاء متجهي على حقل (تبادلي): مجموعة من العناصر (تسمى متجهات) يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى حقل ما، غالبا تكون أعدادا حقيقية، أعداد مركبة أو أعداد كسرية ...٠

الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

يتميز كل فضاء متجهي ببُعده (منتهي أو غير منتهي) . يحدد هذا البُعد عدد عناصر أساسه (مجموعة من العناصر مولدة و حرة)٠

أمثلة

مجموعة الأزواج من الأعداد الحقيقية (ص، س) فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية، ثنائي الأبعاد٠

مجموعة الأعداد المركبة فضاء متجهي على حقل الأعداد المركبة، أحادي الأبعاد٠

مجموعة الأعداد المركبة فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية، ثنائي الأبعاد٠

الحقول فضاأت متجهية على نفسها أحادية الأبعاد٠

مجموعة الحدوديات ذات متغير واحد  فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية٠

تقاطع فضاأن متجهان فضاء متجهي٠
جمع فضاأن متجهان فضاء متجهي٠
جمع فضاأن متجهان لا تقاطع بينهما سوى المتجة صفر فضاء متجهي٠ الفضاء الناتج عن هذا الجمع يسمى الجمع المباشر٠

ملاحظة

فضاأن متجهان لهما نفس البعد أحدهما ضمن الٱخر متساويان٠ 

الفضاأت المتجهية الجزئية٠

الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ف: الفضاأت المتجهية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ف) ضمن الفضاء ف٠

خاصية
الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ف: المجموعات الغير فارغة ضمن الفضاء ف والمغلة بالعملية الداخلية و العملية الخارجية٠

ليكن ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف٠ ف\ل فضاء متجهي

تشاكلات الفضاأت المتجهية او التطبيقات الخطية

التعريفات التالية تستلزم أن تكون الفضاأت المتجهية التالية على نفس الحقل (تبادلي)٠

تشاكلات الفضاأت المتجهية بين فضاء متجهي ف و فضاء متجهي ق هي التطبيقات الخطية بينهما٠

تشاكلات الفضاأت المتجهية هي التطبيقات التي تحافظ على البنية الحطية٠ 

التشاكل المتقابل (متباين و شمولي) يسمى تشاكل جبري٠

نرمز لفضاءين ف و ق مُتشاكلين جبريا بِـ   ف ≅ ق٠

ليكن ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف، و ك فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق٠

صورة الفضاء الجزئي ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق٠

الصورة العكسية للفضاء الجزئي ك فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف٠

ليكن تا تشاكل  بين الفضاء المتجهي ف و الفضاء المتجهي ق٠

 تا:  ف ←  ق                                                                             

صورة الفضاء ف فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق تدعى صورة التشاكل تا و نرمز لها بِـ صورة(تا)٠
يكون التشاكل شمولي تكافئ صورة التشاكل تساوي الفضاء المتجهي ق٠

بعد صورة(تا) تُدعى رتبة التشاكل تا ونرمز له بِـ رتبة(تا)٠

الصورة العكسية للفضاء الجزئي {0} من الفضاء المتجهي ق فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف تدعى نواة التشاكل تا و نرمز لها بِـ نواة(تا)٠ 
يكون التشاكل متباين تكافئ نواة التشاكل تساوي المتجة صفر٠

التشاكل تا يُحِدث تشاكلا بحيث ف\نواة(تا) متشاكل جبريا مع الفضاء المتجهي صورة(تا)٠

ف\نواة(تا)  ≅ صورة(تا)٠

بعد(صورة(تا)) + بعد(نواة(تا)) = بعد(ف)٠

بصفة عامة، ليكن ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف
بعد(ف\ل) + بعد(ل) = بعد(ف)٠

ملاحظة

ق\صورة(تا) فضاء متجهي يسمى النواة المرافق٠

ولدينا المتتالية الصحيحة:    0 ←  نواة(تا) ← ف ←  ق  ←  ق\صورة(تا) ←0

ملاحظة

في حالة تشاكل ذاتي لفضاء متجهي ف، يكوف الفضاء المتجهي ف جمع مباشر لنواة و صورة التشاكل٠

ملاحظة
في حالة تشاكل فضاأن متجهان لهما نفس الرتبة (منتهية)،  يكون التشاكل تشاكل جبري (تشاكل تقابلي) تكافئ التشاكل متباين (نواته تساوي المتجة صفر) تكافئ التشاكل شمولي (صورته تساوي فضاء الوصول)٠

إقتران التشاكلات و المصفوفات

ليكن ف فضاء متجهي بعده ن و  ق فضاء متجهي بعده م٠  (ط₁، ط₂، ... ط_ن) أساس للفضاء المتجهي ف و (ظ₁، ظ₂،... ) أساس للفضاء المتجهي ق٠

ليكن تا تشاكل  بين الفضاء المتجهي ف و الفضاء المتجهي ق٠

ندعوا مصفوفة التشاكل تا في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن) و الأساس (ظ₁، ظ₂،... ) المصفوفة التي عمودها الأول مُكون  من إحداتيات صورة ط₁ في الأساس (ظ₁، ظ₂،... )، ... و عمودها رقم ن مُكون من إحداتيات صورة ط_ن  في   (ظ₁، ظ₂،...)٠

نقول أن المصفوفة تمثل التشاكل٠

مصفوفة تغيير الأساس

ليكن ف فضاء متجهي بعده منتهي ن٠

لتكن (ط₁، ط₂، ...ط_ن) و  (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن) أساسان للفضاء المتجهي ف٠

ليكن تا تشاكل ذاتي للفضاء المتجهي ف٠ 

ندعوا مصفوفة تغيير الأساس من (ط₁، ط₂، ...ط_ن) إلى (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن) المصفوفة التي عمودها الأول مُكون من إحداتيات ظ₁ في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)، ... و عمودها رقم ن مُكون من إحداتيات ظ_ن في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)٠

خاصية

مصفوفة تغيير الأساس قابلة للإنعكاس٠

إحداتيات متجهة ما من الفضاء المتجهي في الأساس الجديد (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن): الإحداتيات الناتجة عن ضرب معكوس مصفوفة التغيير بإحداتيات المتجهة في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)٠

مصفوفة التشاكل تا في الأساس (ظ₁، ظ₂،... ): المصفوفة الحاصلة من  ضرب معكوس مصفوفة التغيير بِمصفوفة التشاكل تا في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن) بِمصفوفة التغيير٠ نقول أن المصفوفتين متشابهتان٠

مصفوفتان متشابهتان  تمثل  نفس التشاكل الخطي الذاتي٠

رتبة مصفوفة ما هي رتبة مصفوفاتها الجزئية المربعة (رتبة اعدمدة مصفوفاتها الجزئية المربعة الحرة)٠

رتبة مصفوفة ما هي رتبة التشاكل الذي تمثله٠

خاصية

التشابه علاقة تطابق في مجال المصفوفات المربعة. تتشارك المصفوفات المتشابهة بخصائص متعددة

الرتبة

المحدد

الأثر (جمع مداخل المصفوفة الواقعة فوق القطر الرئيسي)٠

و تتشارك أيضا في خصائص أخرى: متعددة الحدود الدنيا و متعددة الحدود المميزة و القيم الذاتية٠

فضاء متجهي مرافق

.4

 كثيرات الحدود والتطبيقات الخطية 

الفضاأت المتجهية

تشكل الفضاأت المتجهية البنية الجبرية الملائمة لدراسة أنظمة المعادلات الخطية٠

ليكن ف فضاء متجهي على حقل (تبادلي): مجموعة من العناصر (تسمى متجهات) يمكن جمعها مع بعضها البعض (نتكلم على الجمع لكن ليس بالضرورة الجمع المألوف)، وضربها بعناصر (تسمى كميات قياسية) تنتمي الى حقل ما، غالبا تكون أعدادا حقيقية، أعداد مركبة أو أعداد كسرية ...٠

الجمع عملية داخلية، الضرب عملية خارجية، تحققان خاصيات مُعينة٠

يتميز كل فضاء متجهي ببُعده (منتهي أو غير منتهي) . يحدد هذا البُعد عدد عناصر أساسه (مجموعة من العناصر مولدة و حرة)٠

أمثلة

مجموعة الأزواج من الأعداد الحقيقية (ص، س) فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية، ثنائي الأبعاد٠

مجموعة الأعداد المركبة فضاء متجهي على حقل الأعداد المركبة، أحادي الأبعاد٠

مجموعة الأعداد المركبة فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية، ثنائي الأبعاد٠

الحقول فضاأت متجهية على نفسها أحادية الأبعاد٠

مجموعة الحدوديات ذات متغير واحد  فضاء متجهي على حقل الأعداد الحقيقية٠

تقاطع فضاأن متجهان فضاء متجهي٠
جمع فضاأن متجهان فضاء متجهي٠
جمع فضاأن متجهان لا تقاطع بينهما سوى المتجة صفر فضاء متجهي٠ الفضاء الناتج عن هذا الجمع يسمى الجمع المباشر٠

ملاحظة

فضاأن متجهان لهما نفس البعد أحدهما ضمن الٱخر متساويان٠ 

الفضاأت المتجهية الجزئية٠

الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ف: الفضاأت المتجهية (بالعمليات المُحدثة من العملية الداخلية و العملية الخارجية في الفضاء ف) ضمن الفضاء ف٠

خاصية
الفضاأت المتجهية الجزئية من الفضاء المتجهي  ف: المجموعات الغير فارغة ضمن الفضاء ف والمغلة بالعملية الداخلية و العملية الخارجية٠

تشاكلات الفضاأت المتجهية او التطبيقات الخطية

التعريفات التالية تستلزم أن تكون الفضاأت المتجهية التالية على نفس الحقل (تبادلي)٠

تشاكلات الفضاأت المتجهية بين فضاء متجهي ف و فضاء متجهي ق هي التطبيقات الخطية بينهما٠
تشاكلات الفضاأت المتجهية هي التطبيقات التي تحافظ على البنية الحطية٠ 

التشاكل المتقابل (متباين و شمولي) يسمى تشاكل جبري٠

ليكن ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف، و ك فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق٠
صورة الفضاء الجزئي ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق٠
الصورة العكسية للفضاء الجزئي ك فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف٠
بعد صورة(تا) تُدعى رتبة التشاكل تا ونرمز له بِـ رتبة(تا)٠

نواة تشاكل بين فضاء متجهي ف و فضاء متجهي ق فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف٠

يكون التشاكل متباين تكافئ نواة التشاكل تساوي المتجة صفر٠

صورة تشاكل بين فضاء متجهي ف و فضاء متجهي ق فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ق٠

يكون التشاكل شمولي تكافئ صورة التشاكل تساوي الفضاء المتجهي ق٠

ليكن تا تشاكل  بين الفضاء المتجهي ف و الفضاء المتجهي ق٠
 تا:  ف ←  ق                                                                             

نرمز لنواة التشاكل  تا بِـ نواة(تا)، و لصورة التشاكل  تا بِـ صورة(تا)٠
ق\صورة(تا) فضاء متجهي يسمى النواة المرافق٠
ف\نواة(تا) فضاء متجهي٠ التشاكل تا يُحِدث تشاكلا بحيث ف\نواة(تا) متشاكل جبريا مع الفضاء المتجهي صورة(تا)٠
بعد(صورة(تا)) + بعد(نواة(تا)) = بعد(ف)٠
بصفة عامة، ليكن ل فضاء متجهي جزئي من الفضاء المتجهي ف٠ بعد(ف\ل) + بعد(ل) = بعد(ف)٠

ملاحظة

في حالة تشاكل ذاتي لفضاء متجهي ف، يكوف الفضاء المتجهي ف جمع مباشر لنواة و صورة التشاكل٠

ملاحظة
في حالة تشاكل فضاأن متجهان لهما نفس الرتبة (منتهية)،  يكون التشاكل تشاكل جبري (تشاكل تقابلي) تكافئ التشاكل متباين (نواته تساوي المتجة صفر) تكافئ التشاكل شمولي (صورته تساوي فضاء الوصول)٠

إقتران التشاكلات و المصفوفات

ليكن ف فضاء متجهي بعده ن و  ق فضاء متجهي بعده م٠  (ط₁، ط₂، ... ط_ن) أساس للفضاء المتجهي ف و (ظ₁، ظ₂،... ) أساس للفضاء المتجهي ق٠

ليكن تا تشاكل  بين الفضاء المتجهي ف و الفضاء المتجهي ق٠

ندعوا مصفوفة التشاكل تا في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن) و الأساس (ظ₁، ظ₂،... ) المصفوفة التي عمودها الأول مُكون  من إحداتيات صورة ط₁ في الأساس (ظ₁، ظ₂،... )، ... و عمودها رقم ن مُكون من إحداتيات صورة ط_ن  في   (ظ₁، ظ₂،...)٠

نقول أن المصفوفة تمثل التشاكل٠

مصفوفة تغيير الأساس

ليكن ف فضاء متجهي بعده منتهي ن٠

لتكن (ط₁، ط₂، ...ط_ن) و  (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن) أساسان للفضاء المتجهي ف٠

ليكن تا تشاكل ذاتي للفضاء المتجهي ف٠ 

ندعوا مصفوفة تغيير الأساس من (ط₁، ط₂، ...ط_ن) إلى (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن) المصفوفة التي عمودها الأول مُكون من إحداتيات ظ₁ في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)، ... و عمودها رقم ن مُكون من إحداتيات ظ_ن في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)٠

خاصية

مصفوفة تغيير الأساس قابلة للإنعكاس٠

إحداتيات متجهة ما من الفضاء المتجهي في الأساس الجديد (ظ₁، ظ₂،...ظ_ن): الإحداتيات الناتجة عن ضرب معكوس مصفوفة التغيير بإحداتيات المتجهة في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن)٠

مصفوفة التشاكل تا في الأساس (ظ₁، ظ₂،... ): المصفوفة الحاصلة من  ضرب معكوس مصفوفة التغيير بِمصفوفة التشاكل تا في الأساس (ط₁، ط₂، ...ط_ن) بِمصفوفة التغيير٠ نقول أن المصفوفتين متشابهتان٠

مصفوفتان متشابهتان  تمثل  نفس التشاكل الخطي الذاتي٠

رتبة مصفوفة ما هي رتبة مصفوفاتها الجزئية المربعة (رتبة اعدمدة مصفوفاتها الجزئية المربعة الحرة)٠
رتبة مصفوفة ما هي رتبة التشاكل الذي تمثله٠

خاصية

التشابه علاقة تطابق في مجال المصفوفات المربعة. تتشارك المصفوفات المتشابهة بخصائص متعددة

الرتبة

المحدد

الأثر (جمع مداخل المصفوفة الواقعة فوق القطر الرئيسي)٠

و تتشارك أيضا في خصائص أخرى سنعرفها في ما يلي: متعددة الحدود الدنيا و متعددة الحدود المميزة و القيم الذاتية٠

التحاكي، التناظر، الإسقاط
التحاكي ذو النسبة ك للفضاء المتجهي ف ذو البعد ن تطبيق خطي مصفوفته المصفوفة القطرية ك.ي بغض النظر عن الأسس، بحيث ي مصفوفة الوحدة المكونة من ن صف و ن عمود٠

التناظر  للفضاء المتجهي ف ذو البعد ن تطبيق خطي ذاتي التقابل، أي تركيبه مرتيين يساوي التطبيق المحايد، مصفوفته ل 
تحقق ل.ل = ي، بحيث ي مصفوفة الوحدة المكونة من ن صف و ن عمود٠

الإسقاط  للفضاء المتجهي ف ذو البعد ن تطبيق خطي تركيبه مرتيين يساوي له، مصفوفته ل تحقق ل.ل = ل٠

أمثلة

ليكن الفضاء المتجهي ف جمع مباشر لفظاأين جزئيين منه ف1 و ف2، بحيث كل عنصر ص من ف يُكتب بطريقة وحيدة

ص = ص1 + ص2، بحيث ص1 ينتمي للفضاء ف1 و ص2 ينتمي للفضاء ف2

التطبيق الذي يحول العنصر ص إلى العصر ص1 إسقاطا (أي تطبيق خطي تركيبه مرتيين يساوي له)٠ يسمى الإسقاط المتوازي مع ف2 على ف1

التطبيق الذي يحول العنصر ص إلى العصر ص1 - ص2 تناظرا (أي تطبيق خطي تركيبه مرتيين يساوي التطبيق المحايد)٠ يسمى التناظر المتوازي مع ف2 على ف1

ملاحظة

كل تشاكل  تا ذاتي لفضاء متجهي ف تركيبه مرتيين يساوي التطبيق المحايد، تناظرا متوازيا مع نواة التشاكل(تا + ي) على

نواة التشاكل (تا - ي)، بحيث ي التطبيق المحايد٠

كل تشاكل  تا ذاتي لفضاء متجهي ف تركيبه مرتيين يساوي له، إسقاطا على صورته متوازيا مع نواته٠

الفضاء الجزئي المغلق بتشاكل ما

الفضاء الجزئي المغلق بتشاكل ما تا بين فضاء متجهي ف و فضاء متجهي ق: الفضاء الجزئي من الفضاء المتجهي ف بحيث صورته بالتشاكل تا ضمنه٠

ليكن تا تشاكل ذاتي لفضاء متجهي ف بعده منتهي٠

لتكن (ط1، ط2، .. ظ1، ظ2،...) أساس الفضاء المتجهي ف، بحيث الفضاء المتجهي الجزئي من الفضاء المتجهي ف المُولد

من (ط1، ط2، ..) مغلوق بالتشاكل تا  و الفضاء المتجهي الجزئي من الفضاء المتجهي ف المُولد من (ظ1، ظ2،...) مغلوق بالتشاكل تا٠ فإن بالتشاكل تا يُحِدث تشاكلا ذاتيا في الفضاء المتجهي المُولد من (ط1، ط2،...) و يُحِدث تشاكلا ذاتيا في الفضاء المتجهي  المُولد من (ظ1، ظ2،...)٠ المصفوفة المقرونه بالتشاكل تا تكون قطرية أقطارها مصفوفات التشاكلين المُحدثين٠

يمكن تعميم ماسبق إلى حالة الفضاء ف جمع مباشر لعدد من فضاأت جزئية منه مغلوقة بالتشاكل تا٠

 كثيرات الحدود والتطبيقات الخطية

متعددة الحدود الدنيا

مجموعة متعددة الحدود حا بحيث حا(تا) = 0 مثالي أساسي من حلقة متعددة الحدود ذات المعاملات أعدادا حقيقية أو أعداد مركبة أو بصفة عامة من جسم ما ... (حلقة أساسية)٠

متعددة الحدود الدنيا للتشاكل تا هي الحدودية  الوحيدة حا ذات الدرجة الأصغر و المعامل الرئسي 1 بحيث حا(تا) = 0

متعددة الحدود الدنيا للمصفوفة المربعة (ن،ن) تا هي الحدودية  الوحيدة حا ذات الدرجة الأصغر و المعامل الرئسي 1 بحيث

حا(تا) = 0

أمثلة

متعددة الحدود الدنيا للتحاكي ذو النسبة ك هي متعددة الحدود  حا(ص) = ك٠

متعددة الحدود الدنيا لتناظر ما هي متعددة الحدود حا(ص) =  ص²  - 1

متعددة الحدود الدنيا لإسقاط ما هي متعددة الحدود حا(ص) =   ص²  - ص٠

متعددة الحدود المميزة

متعددة الحدود المميزة للمصفوفة المربعة (ن،ن) تا  هي مُحدِّد المصفوفة (تا - ص.ي)، بحيث ي مصفوفة الوحدة المكونة من ن صف و ن عمود٠

جذور متعددة الحدود المميزة لمصفوفة ما هم القيم الذاتية لهذه المصفوفة٠

إذا وجد أساس للفضاء ف مُكون من المتجهات الذاتية فإن المصقوفة قابلة للتقطير٠

الفضات الجزئية الدورية

ليكن التشاكل تا من و إلى الفضاء المتجهي ف٠

ليكن ص عنصر ينتمي إلى الفضاء المتجهي ف٠

 نعرف الفضاء الجزئي الدوري للتشاكل تا المقرون بالعنصر ص بالفضاء الجزئي المُولد بالمجموعة

{ ...  ( ص ،  تا(ص)،  تا ² (ص)، تا ³ (ص}

أمثلة

الفضاء الجزئي الدوري للتحاكي ذو النسبة ك المقرون بالعنصر ص هو الفضاء الجزئي المُولد بالمجموعة

{ص}

الفضاء الجزئي الدوري لإسقاط ما المقرون بالعنصر ص هو الفضاء الجزئي المُولد بالمجموعة

{(ص ،  تا(ص}

الفضاء الجزئي الدوري لإسقاط ما المقرون بالعنصر ص هو الفضاء الجزئي المُولد بالمجموعة

{(ص ،  تا(ص}

مبرهنة كايلي هاميلتون

كل مصفوفة مربعة معرفة على حلقة تبادلية تحقق المعادلة المميزة الخاصة بها٠