الترميز
للترمير نستعمل الحرف العربي، العبري، الاردو ... التي يتماشي مع الكتابة من اليمين إلى اليسار٠
حا: مجموعة الأعداد الحقيقية٠
للترمير للمجموعات نستعمل الحرف الاردو ے ( يُقرأ أُه) و ے' ( يُقرأ أُه الأولي) و ے'' ( يُقرأ أُه المزدوج) ...٠
للترمير نستعمل الحرف العربي، العبري، الاردو ... التي يتماشي مع الكتابة من اليمين إلى اليسار٠
حا: مجموعة الأعداد الحقيقية٠
للترمير للمجموعات نستعمل الحرف الاردو ے ( يُقرأ أُه) و ے' ( يُقرأ أُه الأولي) و ے'' ( يُقرأ أُه المزدوج) ...٠
1
فضاء طوبولوجي هو مجموعة غير خالية و ببنية عليها، تعرفنا بفئاتها المفتوحة و جوارات نقطها و فئاتها المقفولة، ...٠
تمكننا الطوبولوجيا بدراسة النهايات و الإستمرار و دراسة الخصائص المنحفظة وفق التشوهات المتتطابقة ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)٠ يسمى التشويه المتتطابق ثنائي الاستمرار بين فضائين طبولوجيين بالتشاكل الطبولوجي لمحافظته على الخصائص الطبولوجية٠
فضائين متطابقين طوبولوجيا فضائين متساويين٠
تعريف
ليكن ے مجموعة غير خالية و طوبو عائلة من المجموعات الجزئية من ے تُدعى مجموعات مفتوحة ٠
نقول بأن (ے، طوبو) فضاء طوبولوجي إذا تحققت الشروط التالية
كل من المجموعة الفارغة و ے مجموعة مفتوحة أي تنتمي لِـ طوبو٠
اتحاد أي عدد من المجموعات المفتوحة مجموعة مفتوحة أي ينتمي لِـ طوبو٠
تقاطع مجموعتان مفتوحتان مجموعة مفتوحة أي ينتمي لِـ طوبو٠
فضاء طوبولوجي منفصل: نقول أن (ے، طوبو) فضاء طوبولوجي منفصل إذا تحققت الشرط التالي: كل نقطتين متغايرتين منه لهن جوارين منفصلين٠
مجموعة مفتوحة: عناصر طوبو تسمى المجموعات المفتوحة٠
مجموعة مغلقة: مُكملة كل مجموعة مفتوحة تسمى مجموعة مغلقة
جوار نقطة: لتكن ب نقطة من ے و ي مجموعة جزئية من ے ٠ نقول بأن المجموعة ي جوار للنقطة ب إذا كانت المجموعة ي تحتوي مجموعة مفتوحة تحتوي النقطة ب٠
ملاحظة
اتحاد أي عدد من المجموعات المفتوحة هو مجموعة مفتوحة٠
تقاطع عدد محدود من المجموعات المفتوحة هو مجموعة مفتوحة٠
تقاطع أي عدد من المجموعات المغلقة هو مجموعة مغلقة٠
اتحاد عدد محدود من المجموعات المغلقة هو مجموعة مغلقة٠
مجموعة مضغوطة: لتكن ي مجموعة جزئية من الفضاء الطوبولوجي ے٠ ي مجموعة مضغوطة إذا كان كل من أغطيتها المفتوحة لها غطاء جزئي منتهي٠ هناك تعريف آخر يشترط أن يكون ے فضاء طوبولوجيا منفصلا٠
داخل المجموعة ي هو اتحاد كل المجموعات المفتوحة و الجزئية منها٠
داخل المجموعة ي هو مجموعة النقط ب بحيث المجموعة ي جوار للنقطة ب٠
غالق مجموعة: لتكن ي مجموعة جزئية من الفضاء الطوبولوجي ے ٠ غالق المجموعة ي هو أصغر مجموعة مغلقة تحتوي ي٠ ونرمز لإنغلاق المجموعة ي بِـ ي¯٠
غالق المجموعة ي هو تقاطع كل المجموعات المغلقة التي تحتويها٠
غالق المجموعة ي هو مجموعة النقط ب بحيث كل جوار للنقطة ب يتقاطع مع ي، أي كل مجموعة مفتوحة تحتوى النقطة ب تتقاطع مع ي٠
نقطة ملاصقة أو نقطة من الغالق: نقول أن النقطة ب (ليست بالضرورة من المجموعة ي) نقطة ملاصقة للمجموعة ي إذا كان كل جوار للنقطة ب يتقاطع مع ي، أي كل مجموعة مفتوحة تحتوى النقطة ب تتقاطع مع ي٠
نقطة تراكم: نقول أن النقطة ب نقطة تراكم للمجموعة الجزئية ي إذا كانت كل مجموعة مفتوحة تحتوى النقطة ب تتقاطع مع
ي - {ب}٠
نقطة معزولة: نقول أن النقطة ب من المجموعة ي نقطة معزولة إذا كان لها جوار لا يحتوي أي نقطة أخرى من المجموعة ي٠
فضاء متري
ليكن ے مجموعة غير خالية٠
ليكن م تطبيق من ے 2 إلى حا + ، بحيث تتحقق الخصائص التالية
لجميع س، ص، ش من ك
م(س ، ص) = م(ص ، س)٠
م(س ، س) = 0 تكافئ س = س٠
م(س، ص) ≤ م(س ، ش) + م(ش ، ص)٠
التطبيق م يسمى مسافة على الفضاء ے و الزوج (ے، م) فضاء متريا٠
تسمى الكرة المفتوحة (أو الكرة المغلقة) ذات المركز النقطة ا من المجموعة ے و الشعاع ع (عنصر من حا +) مجموعة النقاط س من المجموعة ك بحيث م(س ، ا) < ع (أو م(س ، ا) ≤ ع)٠
خاصية: الفضاء المتري (ے، م) فضاء طوبولوجي٠ مجموعاته المفتوحة هي اتحاد (محدود أو غير محدود) لعدد من كراته المفتوحة ٠ (نقول أن الكرات المفتوحة أساس لطوبولوجته)٠
خاصية: لتكن ي مجموعة جزئية من الفضاء ے٠ تكون ي مجموعة مفتوحة إذا كان أي عنصرها مركزا لكرة مفتوحة، بحيث الكرة المفتوحة ضمن المجموعة ي٠
كل فضاء متري هو فضاء طوبولوجي ولكن العكس قد لا يتحقق٠
نقول أن الفضاة الطوبولوجي قابل للقياس إذا كانت هناك مسافة تُحدِث طوبولوجيته٠مفاهيم مترية
الإتصال المنتظم، متتالية كوشي ...٠
3
فضاء متجهي معياري
ليكن ل حقل و ے فضاء متجهي على ل٠
ليكن || || تطبيق من ے إلى حا + ، بحيث تتحقق الخصائص التالية
لجميع س، ص من الفضاء ے و ح من الحقل ل
س|| = 0 تكافئ س = 0||
||ح.س|| = |ح|.||س||
||س+ ص|| ≤ ||س|| + ||ص||
التطبيق || || يسمى معيار على الفضاء ے و الزوج (ے، || ||) فضاء متجهي معياري٠
تسمى الكرة المفتوحة (أو الكرة المغلقة) ذات المركز النقطة ا من الفضاء ے و الشعاع ع (عنصر من حا +) مجموعة النقاط س من الفضاء ے بحيث ||س - ا|| < ع (أو ||س - ا|| ≤ ع)٠
خاصية: (ے، || ||) فضاء طوبولوجي، قاعدته المفتوحة مجموعة من الكرات المفتوحة٠
خاصية: (ے، || ||) فضاء متري٠
ملاحظة
كل فضاء معياري هو فضاء متري، و كل فضاء متري هو فضاء طوبولوجي ولكن العكس قد لا يتحقق٠
alfarjimohammed@gmail.com
ليست هناك تعليقات:
لا يسمح بالتعليقات الجديدة.